微积分: 反常积分

反常积分

即广义积分，分为无穷区间上与无界函数上两种

计算

无穷区间上

$\begin{align}&\int_a^{+\infty}f(x)dx=\lim_{b\rightarrow+\infty}\int_a^bf(x)dx\end{align}$

拆为两项，其中需要关注$\begin{align}\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)\end{align}$一项，如果它存在，则积分收敛，否则发散

需要熟悉不定积分的求法，利用牛顿莱布尼茨公式进行求解，不同之处在于它需要计算一项或两项的极限值

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eg:

$\begin{align}&计算\int_0^{+\infty}\frac{xe^{-x}}{(1+e^{-x})^2}dx\\&解:原式\xlongequal{t=-x}\int_0^{+\infty}\frac{te^t}{(1+e^t)^2}dt=(-\frac{t}{1+e^t})\Bigg|_0^{+\infty}+\int_0^{+\infty}\frac{1}{e^t(1+e^t)}de^t\\&=(\ln\frac{e^t}{(1+e^t)}-\frac{t}{1+e^t})\Bigg|_0^{+\infty}=\ln2\end{align}$

证明广义积分等式

一般需要作代换，可以考虑倒代换、三角代换等

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eg:

$\begin{align}&证明\int_0^{+\infty}\frac{dx}{1+x^4}=\int_0^{+\infty}\frac{x^2}{1+x^4}dx，并求值\\&证:左边\xlongequal{t=\Large \frac{1}{x}}\int_{+\infty}^0-\frac{dx}{x^2(1+\frac{1}{x^4})}=\int_0^{+\infty}\frac{x^2}{1+x^4}dx=右边\\&\therefore原式=\frac{1}{2}\int_0^{+\infty}\frac{1+x^2}{1+x^4}dx=\frac{1}{2}\int_0^{+\infty}\frac{1+\large\frac{1}{x^2}}{x^2+\large\frac{1}{x^2}}dx=\frac{1}{2}\int_0^{+\infty}\frac{d({x-\large\frac{1}{x}})}{(x-{\large\frac{1}{x}})^2+2}=\\&\frac{\sqrt2}{4}\arctan{\bigg[\frac{\sqrt2}{2}(x-\frac{1}{x})\bigg]}\Bigg|_0^{+\infty}=\frac{\sqrt2\pi}{4}\end{align}$