微积分: 级数
无穷级数
常数项级数
定义
无穷多个数相加，记为$\begin{align}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{align}$，称为常数项无穷级数，又称常数项级数或级数
部分和数列
令$\begin{align}S_n=\sum_{k=1}^nu_k(n=1,2,...)\end{align}$，我们说，当n → ∞时，$\begin{align}S_n\approx\sum_{n=1}^\infty u_n\end{align}$
敛散性
当$\begin{align}\lim_{n\rightarrow\infty}S_n=S\end{align}$，且S为一个有限值时，称$\begin{align}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{align}$收敛，且称S为它的和，否则称它发散
对于敛散性问题，我们将它转换成求Sn通项，再判断极限是否存在的问题
常见级数
- 调和级数：$\begin{align}\sum_{n=1}^\infty
\frac1n\end{align}$发散
- $\begin{align}&证明:u_n=\frac1n=\int_n^{n+1}\frac1ndx>\int_n^{n+1}\frac1xdx\\&\therefore S_n>\int_1^{n+1}\frac1xdx=\ln x\Bigg|_1^{+\infty}=+\infty\\&\therefore\sum_{n=1}^\infty \frac1n发散 \end{align}$
- p级数(超调和级数)：$\begin{align}\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^p}\end{align}$当p ≤ 1时发散，当p > 1时收敛
- $\begin{align}&证明:u_n=\frac1{n^p}=\int_n^{n+1}\frac1{n^p}dx>\int_n^{n+1}\frac1{x^p}dx\\&u_n=\frac1{n^p}=\int_{n-1}^{n}\frac1{n^p}dx<\int_{n-1}^{n}\frac1{x^p}dx\\&\therefore S_n>\int_1^{n+1}\frac1{x^p}dx，S_n<\int_0^n\frac1{x^p}dx\\&1)当p=1时，为调和级数，已证明为发散\\&2)当p<1时，S_n>\frac1{1-p}x^{1-p}\Bigg|_1^{+\infty}，易得p<1时发散\\&3)当p>1时，S_n<\frac1{1-p}x^{1-p}\Bigg|_1^{+\infty}，易得p>1时收敛\end{align}$
- $\begin{align}\sum_{n=2}^\infty\frac1{n^p(\ln x)^q}\end{align}$当p < 1时发散；当p > 1时收敛；当p = 1时，$\begin{cases}发散,&q\le1\\收敛,&q>1\end{cases}$
级数的性质
- 一个级数乘以一个实数不改变其敛散性
- 两收敛级数相加减得到的级数仍收敛，且S = S1 ± S2
- 改变级数的有限个项，级数的敛散性不变
- 若用括号将级数(S1)的部分项合并为一项，将得到的级数称为S2，若S1收敛则S2仍收敛，若S2发散则S1必发散
- $\begin{align}\sum_{n=1}^\infty u_n收敛\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}u_n=0，反之不成立(例如调和级数);\ \lim_{n\rightarrow\infty}u_n\ne0\Rightarrow\sum_{n=1}^\infty u_n发散\end{align}$
正项级数的比较判别法
一般形式
对于正项级数，{Sn}本身是单调递增的，根据单调有界收敛原理，若$\begin{align}\lim_{n\rightarrow\infty}S_n\end{align}$存在，则该级数收敛
正项级数的比较判别法与无穷区间上反常积分的比较判别法类似： $$ \begin{align}若存在N\in N^+,当n\ge N时0<u_n\le v_n,若\sum_{n=1}^\infty u_n发散,则\sum_{n=1}^\infty v_n发散;若\sum_{n=1}^\infty v_n收敛,则\sum_{n=1}^\infty u_n收敛\end{align} $$ 在用比较判别法判断时，应强调一般项的正负和用于比较的标准级数
标准级数一般为p级数、等比级数等
极限形式
$$ \begin{align}&\large若\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u_n}{v_n}=l(u_n、v_n>0):\\&\large1)若0<l<+\infty，则\sum_{n=1}^\infty u_n和\sum_{n=1}^\infty v_n的敛散性相同(此时k_1v_n<u_n<k_2v_n)\\&\large2)若l=0，则说明u_n<v_n，对应比较判别法\\&\large3)若l=+\infty，则说明v_n<u_n\end{align} $$
正项级数的比值判别法
比较判别法需要借助一个别的标准级数，而比值判别法由级数本身来确定它的敛散性 $$ \begin{align}&\large若\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho(u_n>0):\\&\large1)当\rho<1时，级数收敛\\&\large2)当\rho>1或\rho=+\infty时，级数发散\end{align} $$
正项级数的根植判别法
也称柯西判别法，当一般项的外部带n次方时可以使用 $$ \begin{align}&\large若\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho(u_n>0):\\&\large1)当\rho<1时，级数收敛\\&\large2)当\rho>1或\rho=+\infty时，级数发散\end{align} $$
正项级数的积分判别法
上述的调和级数和p级数敛散性问题借用反常积分转换为了反常函数判别法的问题，对于正项级数，如果它的一般项单调递减，则它与$\begin{align}\int_1^{+\infty}u(x)dx\end{align}$的敛散性相同
交错级数的莱布尼茨判别法
交错级数，即各项正负相间的级数，表现为$\begin{align}\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}u_n\end{align}$
若un单调递减且$\begin{align}\lim_{n\rightarrow\infty}u_n=0\end{align}$，则交错级数收敛
绝对收敛与条件收敛
对任意项级数，由其每一项的绝对值组成的新级数称为绝对值级数，如果它收敛，则原级数也收敛，这称为原级数绝对收敛。因此对于一个交错级数，既可以用莱布尼茨判别法，也可以用正项级数的判别法
但是，当绝对值级数发散时，不能断定原级数发散，而只能说明它不是绝对收敛。如果原级数收敛而绝对值级数发散，则称原级数条件收敛，例如$\begin{align}\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac1n\end{align}$
因为交错级数的部分和数列是小于它的绝对值级数的部分和数列的，这就很像比较判别法：大的收敛则小的也收敛；而大的发散，小的不一定发散
但是，由比值判别法或根值判别法得出绝对值级数发散的原级数也发散，这很好理解：由比值判别法得到un单调递增，不符合莱布尼茨判别法的第一条件；由根值判别法得到$\begin{align}\lim_{n\rightarrow\infty}u_n=+\infty\end{align}$，不符合莱布尼茨判别法的第二条件
->插曲：一个很有意思的事，欧拉证明欧拉公式时用到了泰勒级数的知识，被称为形式推导，没有考虑到eiπ展开后条件收敛的情况，这时调节项的位置有可能改变它的敛散性，这样证明是不严谨的
黎曼重排定理：一个条件收敛的级数存在不同的排序方法，使其收敛于任意数(包括 + ∞)
证明：假设级数$\begin{align}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{align}$条件收敛，由于$\begin{align}\sum_{n=1}^\infty |u_n|\end{align}$发散，故必有发散的两个子级数$\begin{align}\sum_{n=1}^\infty a_n、\sum_{n=1}^\infty b_n\end{align}$，其中an < 0, bn > 0，由原级数条件收敛的性质，虽然它们发散，但$\begin{align}\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=0\end{align}$
设想一个值S，它可以是有限值或无穷，从bn中取有限个项直至重排数列的和大于S，再从an中取有限个项直至重排数列的和小于S，重复此操作直到an与bn剩下无穷个趋于0的项，这样，重排后的数列和将无限接近S
一个简单、不严谨的例子：级数(1−1) + (1−1) + ...收敛于0，取一个1放在开头，变成：1 + (1−1) + (1−1) + ...，则它收敛于1。这只是便于理解，但它是错误的，不能随意去掉收敛级数的括号或给发散级数添加无限个括号
函数项级数
定义
所谓函数项级数，就是每一项都由一个函数组成的级数
如果在x = x0处形成的数项级数收敛，则称它为这个函数项级数的收敛点，否则称为发散点
所有收敛点的集合称为这个幂级数的收敛域
幂级数
幂级数是最广泛的一类函数项级数，$\begin{align}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{align}$称为x的幂级数
阿贝尔定理
若一个幂级数在x = x0处收敛，则它在(−|x0|, |x0|)上绝对收敛；如果在此处发散，则它在(−∞, −|x0|) ∪ (|x0|, +∞)上发散
幂级数只有三种情况：存在一个R
- 如果0 < R < + ∞，则幂级数在(−R,R)上绝对收敛，在(−∞,−R) ∪ (R,+∞)上发散
- 如果R = 0，则幂级数处处发散
- 如果R = + ∞，则幂级数处处绝对收敛
所以，收敛域一般是形如(−R,R)的区间，因此在x = ± R处需要额外判断敛散性
收敛半径计算法
R的求法类似比值判别法，对于幂级数$\begin{align}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{align}$的绝对值级数，假设有：
$\begin{align}\lim_{n\rightarrow\infty}\Bigg|\frac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_nx^n}\Bigg|=\rho|x|,即\lim_{n\rightarrow\infty}\Bigg|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigg|=\rho\end{align}$
则当ρ|x| < 1，即$\begin{align}|x|<\frac1\rho\end{align}$时，级数收敛，反之发散
因此：当ρ ≠ 0时，$\begin{align}R=\frac1\rho\end{align}$；当ρ = 0时，R = + ∞；当ρ = + ∞时，R = 0
所以，我们求$\begin{align}\lim_{n\rightarrow\infty}\Bigg|\frac{a_n}{a_{n+1}}\Bigg|\end{align}$，对应的结果便是R
这个方法只适用于缺有限项或不缺项的幂级数，而类似$\begin{align}\sum_{n=0}^\infty a_nx^{2n}\end{align}$这样缺无穷多项的级数应直接用比值判别法
推论：形似$\begin{align}\sum_{n=0}^\infty a_nx^{kn}\end{align}$的收敛半径为$\sqrt[k]R$
性质
- 线性运算：两个幂级数相加减，收敛半径为R = min (R1,R2)
- 乘法运算：两个幂级数相乘，收敛半径也为R
- 若$\begin{align}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{align}$收敛半径为R，则$\begin{align}\sum_{n=1}^\infty na_nx^{n-1}、\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_nx^{n-2}\end{align}$和$\begin{align}\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+1}a_nx^{n+1}\end{align}$的收敛半径也为R
- 假设幂级数的和函数为S(x)，收敛半径为R，则S(x)在(−R,R)上连续且可导且可积，且：
- $\begin{align}S'(x)=\sum_{n=1}^\infty na_nx^{n-1}\end{align}$，根据第三点，S′(x)对应的幂级数收敛半径也为R
- $\begin{align}\int_0^xS(x)dx=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+1}a_nx^{n+1}\end{align}$，根据第三点，它对应的幂级数收敛半径也为R
- 求导或积分后对应的幂级数在x = R上的敛散性可能变化
泰勒级数
幂级数形式简单，有许多性质，而且可以把无法用初等函数表示的函数写成幂级数(例如一些函数的原函数)
把已知函数化为幂级数：
由f(x)在x = x0处的泰勒展开$\begin{align}f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...\end{align}$，得f(x)在x = x0处的泰勒级数为$\begin{align}f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}{(x-x_0)}^n\end{align}$，充要条件为f(x)在x = x0处有任意阶导数且$\begin{align}\lim_{n\rightarrow\infty}(拉格朗日型余项)\end{align}$趋于0
一般地，将f(x)展开为泰勒级数的步骤为：
- 对f(x)高阶求导，得到幂级数
- 求幂级数的收敛域
- 证明$\begin{align}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}=0\end{align}$
更好的方法为：记住常见的泰勒级数，对它们或求导，或积分，或换元来求所求函数的幂级数，例如要求g(x) = f′(x) = cos x的级数，只需对f(x) = sin x的泰勒级数逐项求导即可
常见的麦克劳林级数：
傅里叶级数
$\begin{align}f(x)=\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\end{align}$
狄利克雷收敛定理
如果Tf(x) = 2π且f(x)在( − π, π]上满足：
- 连续或有有限个第一类间断点
- 有有限个单调区间
则f(x)可展开为处处收敛的傅里叶级数且$\begin{align}&S(x)=\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)=\begin{cases}f(x),&在x处连续\\\ \large\frac{\lim_{x\rightarrow x^-}f(x)+\lim_{x\rightarrow x^+}f(x)}2,&x为间断点\end{cases}\\&a_0=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)dx,\ a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nxdx,\ b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nxdx\end{align}$
$\bf T=2l$(一般周期)函数
$\begin{align}&f(x)\sim\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos \frac\pi lnx+b_n\sin \frac\pi lnx)\\&a_0=\frac1l\int_{-l}^l f(x)dx,\ a_n=\frac1l\int_{-l}^l f(x)\cos \frac \pi lnxdx,\ b_n=\frac1l\int_{-l}^l f(x)\sin \frac \pi lnxdx\end{align}$
延拓：给一个只在有限区间上有定义的函数添加定义(如新定义它的周期)，从而拓广函数的定义域
在[0,l]上有定义的函数的傅里叶展开：在[ − l, 0)上添加定义即可，有两种：
- 奇延拓：使其展成正弦级数，$\begin{align}f(x)\sim \sum_{n=1}^\infty b_n\sin \frac\pi lnx\end{align}$
- 偶延拓：使其展成余弦级数，$\begin{align}f(x)\sim\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos \frac\pi lnx\end{align}$