微积分: 多元函数微分

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多元函数微分学

多元函数极限

判别方法

多元函数的极限考虑一组自变量同时趋近一组常量，体现在二元函数上，是一个二重极限

  • 任何方式趋近时极限都存在且相同，例如直线(y=kx)、曲线方式(y=x2、y=sinx...)
  • 由具有不同变量的初等函数的四则运算复合而成的二元函数在定义域上连续，若在该点连续，则在该点极限等于函数值
  • δ − ε语言定义：
    • 对任意ε > 0，存在$\var>0$，当$\begin{cases}|x-x_0|<\delta\\|y-y_0|<\delta\end{cases}$且(x,y) ≠ (x0,y0)时(去心邻域内)，有|f(x,y)−A| < ε，则极限为A
    • 这种语言通常通过放缩来证明二重极限存在，即找到g(δ)，使其满足f(x,y) − A < g(δ)，令ε = g(δ)即可

常见二重极限

  • $\begin{align}&\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}=0\end{align}$，幂次方、分子继续乘x、y的极限都为0
  • $\begin{align}&\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}\end{align}$不存在
  • $\begin{align}&\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{xy}{x+y}\end{align}$不存在

二元函数连续性

  • 若$\begin{align}&\lim_{(x,y)\rightarrow(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)\end{align}$，称在该点连续
  • 当二重极限不存在、或在该点无定义、或二重极限存在但与该点定义不等时，该点为间断点
  • f(x,y)在(x0,y0)处连续$\begin{align}\Leftrightarrow\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\Delta z=0\end{align}$
  • 多元连续函数符合有界性、介值定理

多元函数全微分

求偏导

  • 将其它变量视为常量，将整个函数看作一元函数求导
  • 与一元函数求导一样，导数间断点但用定义、导数连续点用求导法则
  • 求某点的偏导，可先行代入其它变量的值
  • 偏导函数的变量结构可化为与原函数一致，但实际求出一阶偏导后，往往会多出几种变量
  • 含二阶连续偏导的二元函数的二阶混合偏导相等

求全微分

  • $\begin{align}&\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)&(1).\end{align}$
  • 如果函数在(x0,y0)处可微，则Δz = dz + o(ρ)，且$\begin{align}&dz=f_x'dx+f_y'dy&(2).全微分公式\end{align}$
  • 换句话说，要证明函数在该点可微，就是证明Δz − dz是ρ的高阶无穷小：$\begin{align}&\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{o(\rho)}{\rho}=0,其中o(\rho)=(1)-(2)\\&=f(x_0+x,y_0+y)-f(x_0,y_0)-f_x'(x_0,y_0)x-f_y'(x_0,y_0)y\\&\rho=\sqrt{x^2+y^2}\end{align}$
  • 全微分的四则运算法则与一元函数相同
  • 若已知全增量，容易得到偏导是否存在

复合函数全微分

  • 假设对x求偏导，若所有外层函数在此点可微，最内层函数对x可偏导(或可导)，则符合：
    • 找到所有含x的路径
    • 分叉路用偏导符号，单路用微分符号
    • $\begin{align}&\frac{\part f}{\part x}=\frac{\part f}{\part u}·\frac{\part u}{\part x}+\cdots\end{align}$，即相同路径求导相乘，不同路径导数相加
    • 若符号重复，可改写为f(x,y,z)的形式，并用下标1, 2, ⋯指代偏导
  • 一阶全微分形式不变性：复合函数一阶全微分仍可套用全微分公式

隐函数存在定理

  • 对n元函数方程确定的n − 1元隐函数，若在点P0处具有连续偏导、函数值为0、对变量z偏导不为0，则有唯一确定的隐函数z = f(其它n−1个变量)
  • 该隐函数的偏导$\begin{align}\frac{\part z}{\part i}=-\frac{f_i}{f_z}\end{align}$
  • 由方程组确定的隐函数：将方程转换为隐函数的全微分后，联立消去某变量

方向导数

  • 定义：$\begin{align}\frac{\part f}{\part l}=\lim_{\rho\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)}\rho=\lim_{t\rightarrow0^+}\frac{f(x+t\cos\alpha,y+t\cos\beta)-f(x,y)}t\end{align}$
  • 方向导数是沿某一射线方向切片上的导数，实质上是单侧极限
  • 若在一点可微，则(以二元函数为例)：
    • 在该点各个方向的方向导数存在，且满足：$\begin{align}\frac{\part f}{\part l}=f_x(x,y)\cos\alpha+f_y(x,y)\cos\beta\end{align}$
    • 向量(fx(x,y), fy(x,y))称为梯度，记为$\grad f(x,y)$
    • 方向导数最大值为|(fx(x,y), fy(x,y))|，即梯度方向的方向导数
    • 一个点的梯度方向，就是等值线在该点的法线方向

条件关系图

graph LR
 A(偏导连续) --> B(可微)
 B --> F(方向偏导数都存在)
    F --> C(可偏导)
    B --> D(连续)
 F --> E(所有方向导数都存在)
 AA(高阶偏导连续) ---> BB(低阶偏导连续) --> CC(原函数可微)

可偏导与连续无蕴涵关系，都是可微的必要条件

方向偏导数指在某一直线方向切片上的偏导数存在

空间几何

  • 对空间曲面来说，由该曲面方程形成的三元函数的三个偏导所构成的向量n⃗就是在该点处，切平面的法向量，也即法线的方向向量
  • 对以完整的参数方程形式给出的空间曲线来说，即$\begin{cases}x=\varphi(t)\\y=\psi(t)\\z=\omega(t)\end{cases}$，其中φ(t), ψ(t), ω(t)导数存在且不全为0，则切线的方向向量就是它们对t的导数组成的向量，也即该点法平面的法向量
  • 对不完整的参数方程，例如$\begin{cases}y=\varphi(x)\\z=\omega(x)\end{cases}$，则可改写为完整的参数方程$\begin{cases}x=x\\y=\varphi(x)\\z=\omega(x)\end{cases}$，此时方向向量为(1,y′,z′)
  • 对一般式空间曲线，由隐函数存在定理，可转化为上述情况，法平面方程由此可转化为行列式$\left|\begin{matrix}x-x_0&y-y_0&z-z_0\\F_x&F_y&F_z\\G_x&G_y&G_z\end{matrix}\right|=0$，此时法向量(即切线方向向量)为$\begin{align}\left(\frac{\part(F,G)}{\part(y,z)},{\bf -}\frac{\part(F,G)}{\part(x,z)},\frac{\part(F,G)}{\part(x,y)}\right)\end{align}$，也就是两曲面法向量的叉乘积

无条件极值

  • 二元函数的二阶连续偏导点为极值点的充分条件：一阶偏导为0，海森阵行列式大于0
    • 二元函数海森阵：$\left[\begin{matrix}F_{xx}&F_{xy}\\F_{yx}&F_{yy}\end{matrix}\right]$，由于二阶偏导连续时，Fxy = Fyx，故此时不存在Fxx = 0而行列式大于0的情况
    • 若行列式大于0，则是极值点，且$\begin{cases}F_{xx}>0,&极小值点\\F_{xx}<0,&极大值点\end{cases}$
    • 若行列式小于0，则不是极值点，而是鞍点
    • 若行列式等于0，则都有可能，无法判断
  • 多元函数F(x,y,⋯,z)的二阶连续偏导点为极值点：一阶偏导为0，考虑海森阵行列式：
    • 海森阵$\left[\begin{matrix}F_{xx}&F_{xy}&\cdots&F_{xz}\\F_{yx}&F_{yy}&\cdots&F_{yz}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\F_{zx}&F_{zy}&\cdots&F_{zz}\end{matrix}\right]$
    • 若为正定矩阵(特征值都大于0，或顺序主子式都大于0)：为极小值点
    • 若为负定矩阵(特征值都小于0，或$\begin{cases}奇数阶顺序主子式小于0\\偶数阶顺序主子式大于0\end{cases}$)：为极大值点
    • 若为不定矩阵(特征值含大于、小于0)：不是极值点
    • 若为半正定矩阵、半负定矩阵(特征值 ≥ 0、 ≤ 0)：无法判断
  • 二元函数的不可导点也可能是极值点，但没有系统的方法可求解，只能根据图形判断

条件极值

在求多元函数某闭区域内的最值时，需要求出所有可疑的内部极值点及边界上的极值点，求边界极值时往往会附带条件，采用拉格朗日乘数法解决：

  • 求f(x,y,⋯,z)在φ(x,y,⋯,z) = 0、⋯、ψ(x,y,⋯,z) = 0条件约束下的极值
  • 构造函数F(x,y,⋯,z,λ,⋯,u) = f + λφ + ⋯ + uψ
  • 令F的所有偏导等于0，解方程组得到条件极值点(x0,y0,⋯,z0)及对应的λ、⋯、u

练习

简单判断

$\begin{align}&1.讨论f(x,y)=\begin{cases}(x^2+y^2)\ln(x^2+y^2),&x^2+y^2\ne0\\0,&x^2+y^2=0\end{cases}在(0,0)处的连续性\\&解:\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}f(x,y)\xlongequal[y=\rho\cos t]{x=\rho \sin t}\lim_{\rho\rightarrow0}\rho^2\ln\rho^2=\lim_{\rho\rightarrow0}\frac{\ln\rho^2}{\frac1{\rho^2}}=0=f(0,0)\end{align}$

$\begin{align}&2.讨论\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{xy}{x+y}是否存在.\\&沿y=kx,原极限=0;沿y=x^2-x,原极限=-1,故不存在\end{align}$

$\begin{align}&3.讨论\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{xy^2\sin ky}{x^2+y^4}是否存在(k\ne0).\\&0\le \left|\frac{xy^2\sin ky}{x^2+y^4}\right|\le\left|\frac{kxy^3}{x^2+y^4}\right|\le\left|\frac{\frac12(x^2+y^4)}{x^2+y^4}ky\right|=\frac12|ky|=0\end{align}$

$\begin{align}&4.f(x,y)=\begin{cases}\frac1{xy}\sin x^2y,&xy\ne0\\0,&xy=0\end{cases},则f_x'(0,1)的值为?\\&分段点,定义求导f_x'(0,1)=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\frac1x\sin x^2}{x-0}=1\end{align}$

$\begin{align}&5.f(x,y)=e^{\sqrt{x^2+y^4}}在(0,0)处的偏导.\\&在看不出是否分段时,用定义求导一定正确\\&f_x(0,0)=\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{\sqrt{x^2}}-1}{x-0}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{|x|}x,不存在\\&f_y(0,0)=\lim_{y\rightarrow0}\frac{e^{y^2}-1}{y-0}=\lim_{y\rightarrow0}y=0\end{align}$

$\begin{align}&6.证明f(x,y)在(0,0)处可微的一个充分条件为\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{f(x,y)-f(0,0)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0\\&证:由条件得\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{|x|}=0,两边极限都等于0,故f_x(0,0)=0\\&同理f_y(0,0)=0,\\&考虑\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{\Delta f-f_x(0,0)x-f_y(0,0)y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{f(x,y)-f(0,0)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0\\&故\Delta f(0,0)=f_x(0,0)dx+f_y(0,0)dy+o(\sqrt{x^2+y^2}),故可微\end{align}$

$\begin{align}&7.证明f(x,y)在(0,0)处可微的一个充分条件为\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{f(x,y)-f(0,0)+2x-y}{\sqrt{x^2+y^2}}=0\\&与前者不同在于求偏导的过程.\\&f_x(0,0)=\lim_{x\rightarrow0}(\frac{f(x,0)-f(0,0)+2x}{|x|}·\frac{|x|}{x}-2)=-2\\&同理f_y(0,0)=1,其余过程相同\end{align}$

$\begin{align}&8.xy-z\ln y+e^{xz}=1在(0,1,1)的一个邻域内可确定哪几个隐函数?\\&代入F(0,1,1)=0,看偏导\\&求导:F_x=y+e^{xz}z;F_y=x-\frac zy;F_z=-\ln y+e^{xz}x\\&代入F_x(0,1,1)=2;F_y(0,1,1)=-1;F_z(0,1,1)=0\\&故可确定唯一的x(y,z)和y(x,z)\end{align}$

$\begin{align}&9.求函数z=1-\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\right)在点\left(\frac a{\sqrt2},\frac b{\sqrt2}\right)处\\&沿曲线\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1在这点的内法线方向的方向导数.\\&解:该曲线可确定唯一的y=y(x),补充x=x,即为参数方程\\&故切向量为\left(1,-\frac{f_x}{f_y}\Bigg|_{\left(\frac a{\sqrt2},\frac b{\sqrt2}\right)}\right)=(1,-\frac ba)\\&两个相反方向的法向量为\pm(b,a),内法线方向为(-b,-a)\\&故方向导数为z_x\cos\alpha+z_y\cos\beta=\frac{\sqrt{2(a^2+b^2)}}{ab}\end{align}$

$\begin{align}&10.若f(x,y)在有界闭区域内有二阶连续偏导,且\frac{\part^2f}{\part x\part y}\ne0,\frac{\part^2f}{\part x^2}+\frac{\part^2f}{\part y^2}=0,求其最大、最小值的位置\\&令A=\frac{\part^2f}{\part x^2},B=\frac{\part^2f}{\part x\part y},C=\frac{\part^2f}{\part y^2},易得AC-B^2<0,内部没有极值点\\&故最大、最小值只能在边界上\end{align}$

$\begin{align}&11.设函数f(x,y)在(0,0)处连续,且\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{f(x,y)}{1-\cos{\sqrt{x^2+y^2}}}=-2,则在该点是否为极值?\\&由1-\cos\sqrt{x^2+y^2}\sim\frac{x^2+y^2}2,易得f(x,y)是-(x^2+y^2)的等价无穷小\\&即\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}f(x,y)=0,连续\Rightarrow f(0,0)=0\\&f_x(0,0)=\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x,0)-0}x=0,同理f_y(0,0)=0,是可疑极值点\\&f(x,y)=-(x^2+y^2)(1+\alpha),其中\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\alpha=0,故f(x,y)在邻域内<0\\&故是极值点,且为极大值点\end{align}$

$\begin{align}&12.设f(x,y)在(0,0)某邻域内连续,且\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{f(x,y)-xy}{(x^2+y^2)^2}=1,证明(0,0)不是f的极值点\\&由x^2+y^2\rightarrow0,得f(x,y)-xy\rightarrow0,得\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}f(x,y)=0,由连续得f(0,0)=0\\&[举特例说明]:再由条件得\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x,0)-0}{x^4}=1,即在y=0路径上为极小值点\\&在y=-x路径上,\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x,-x)+x^2}{4x^4}=1,\therefore0>\lim_{x\rightarrow0}f(x,-x)>-x^2,是极大值点\\&故不是极值点\\&[不通过路径说明]:\frac{f(x,y)}{xy+(x^2+y^2)^2}=1+\alpha,其中\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\alpha=0\\&即f(x,y)=xy+(1+\alpha)(x^2+y^2)^2\\&故f(x,y)符号取决于xy,当x、y异号时为极大值点,当x、y同号时为极小值点\end{align}$

大题练习

$\begin{align}&1.通过\begin{cases}x=e^u\\y=e^v\end{cases},变换2x^2\frac{\part^2z}{\part x^2}+xy\frac{\part^2z}{\part x\part y}+y^2\frac{\part^2z}{\part y^2}=0\\&\frac{\part z}{\part u}=\frac{\part z}{\part x}e^u;\ \ \frac{\part z}{\part v}=\frac{\part z}{\part y}e^v\\&\frac{\part^2z}{\part u^2}=e^u\left(\frac{\part z}{\part x}+\frac{\part^2z}{\part x^2}e^u\right),对v二阶偏导、混合偏导同理\\&最终答案:2\frac{\part^2z}{\part u^2}+\frac{\part^2z}{\part u\part v}+\frac{\part^2z}{\part v^2}-2\frac{\part z}{\part u}-\frac{\part z}{\part v}=0\end{align}$

$\begin{align}&2.讨论f(x,y)=\begin{cases}\large\frac{x^2y^2}{(x^2+y^2)^{\frac32}},&x^2+y^2\ne0\\0,&x^2+y^2=0\end{cases}在(0,0)处是否连续、偏导数存在性、以及是否可微\\&1).0\le\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}f(x,y)\le\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}=0,故连续\\&2).分段函数用定义,f_x(0,0)=\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{x}{x^3}·0=0\\&f_y(0,0)=\lim_{y\rightarrow0}\frac{f(0,y)-f(0,0)}{y-0}=0,偏导存在\\&3).\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{\frac{x^2y^2}{(x^2+y^2)^{\frac32}}-0-0x-0y}{\rho}=\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}=\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\left(\frac{xy}{x^2+y^2}\right)^2不存在,\\&故不可微\end{align}$