线性代数: 矩阵

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矩阵

概念

形如$\begin{align}\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1\rm n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2\rm n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{\rm m1}&a_{\rm m2}&...&a_{\rm mn}\end{matrix}\right]\end{align}$的矩阵称为m × n矩阵，记为Am × n

  • 行矩阵/列矩阵：只有一行/一列的矩阵
  • n阶矩阵：An × n
  • 三角形矩阵(0一般省略不写)：三角形矩阵一定是方阵
    • 对角矩阵：$\begin{align}\left[\begin{matrix}a_{11}&0&...&0\\0&a_{22}&...&0\\\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&...&a_{\rm nn}\end{matrix}\right]\end{align}$，记为$\rm diag(a_{11},a_{22},\cdots,a_{nn})$
    • 上三角矩阵：$\begin{align}\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1\rm n}\\0&a_{22}&...&a_{2\rm n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&...&a_{\rm nn}\end{matrix}\right]\end{align}$
    • 下三角矩阵：$\begin{align}\left[\begin{matrix}a_{11}&0&...&0\\a_{21}&a_{22}&...&0\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{\rm m1}&a_{\rm m2}&...&a_{\rm nn}\end{matrix}\right]\end{align}$
  • 单位矩阵：$\rm diag(1,1,\cdots,1)$，记为E或I
  • 同型矩阵：行、列数相同的两矩阵

运算

基本运算

  • 加/减法运算：A + B即把各对应的元素相加/减，其中A、B必须是同型矩阵
  • 数乘运算：$k\bf A$即每个元素都乘上k
  • 乘法运算：$A_{\rm m\times k}B_{\rm k\times m}=C_{\rm m\times n}$，$\begin{align}c_{ij}=\sum_{a=1}^ka_{\rm ia}b_{\rm aj}\end{align}$

运算的性质

加减法与数乘运算的性质不赘述

  • 一般AB ≠ BA，若AB = BA，则A、B为同阶方阵
  • A ≠ O时，若AB = AC，一般B ≠ C
  • 若AB = O，一般A ≠ O或B ≠ O；若A ≠ O且B ≠ O，AB可能等于O
  • A(BC) = (AB)C
  • k(AB) = (kA)B = A(kB)
  • A(B+C) = AB + AC；(A+B)C = AC + BC
  • AE1 = E2A = A，若A为方阵，则E1 = E2
  • 两个同阶且相同类型的三角形矩阵相乘还是对应类型的三角形矩阵，且新矩阵对角元等于两矩阵对角元相乘

线性方程组的矩阵形式

形如$\begin{align}\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1\rm n}x_n=b_1,\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2\rm n}x_n=b_2,\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots\cdots\cdots\cdots\\a_{\rm m1}x_1+a_{\rm m2}x_2+\cdots+a_{\rm mn}x_n=b_m\end{cases}\end{align}$的m条n元一次方程组称为m × n型方程组的一般形式

令$\begin{align}A=\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1\rm n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2\rm n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{\rm m1}&a_{\rm m2}&...&a_{\rm mn}\end{matrix}\right],x=\left[\begin{matrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{matrix}\right],b=\left[\begin{matrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_n\end{matrix}\right]\end{align}$

则Ax = b，这是它的矩阵形式，其中A称为系数矩阵，b称为常数向量

增广矩阵：$[A,b]=\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1\rm n}&b_1\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2\rm n}&b_2\\\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\a_{\rm m1}&a_{\rm m2}&...&a_{\rm mn}&b_m\end{matrix}\right]$

当b = O时，称为齐次线性方程组

转置

定义

An × m称为Am × n的转置矩阵，记为$A^{\rm T}$

转置的性质

  • $(A+B)^{\rm T}=A^{\rm T}+B^{\rm T}$
  • $(AB)^{\rm T}=B^{\rm T}A^{\rm T}$
  • 对称矩阵/反称矩阵：设A为方阵，若$A^{\rm T}=A$，则为对称矩阵；若$A^{\rm T}=-A$，则为反称矩阵
  • 正交矩阵：若$A^{\rm T}A=AA^{\rm T}=E$，称A为正交矩阵
  • 幂零矩阵：若存在正整数m，使Am = O，则称A为幂零矩阵
  • 幂等矩阵：若A2 = A，称A为幂等矩阵
  • 对合矩阵：若A2 = E，称A为对合矩阵

分块矩阵

分块后矩阵的运算与一般矩阵类似，若$A=\left[\begin{matrix}A_{11}&\cdots&A_{1n}\\\vdots&&\vdots\\A_{m1}&\cdots&A_{mn}\end{matrix}\right]$，则$A^{\rm T}=\left[\begin{matrix}A_{11}^{\rm T}&\cdots&A^{\rm T}_{1n}\\\vdots&&\vdots\\A^{\rm T}_{m1}&\cdots&A^{\rm T}_{mn}\end{matrix}\right]$

常用分块方法

  • 按行或按列分为m个n阶行向量或n个m阶列向量
  • 分为2 × 2的分块矩阵，其中应利用E或O或三角形矩阵

矩阵的初等变换

对一个线性方程组进行操作：

  • 调换两条方程的位置
  • 方程两边同乘非零常数
  • 某行乘以一非零常数后加到另一行

不改变该方程组的解，这些操作称为线性方程组的初等变换

对应到增广矩阵上，这些操作为：

  • 对调行变换/对调列变换：对调两行/两列，记为ri ↔︎ rj或ci ↔︎ cj
  • 倍乘行变换/倍乘列变换：第i行/列乘上一个非零常数，记为ri × k或ri × k
  • 倍加行变换/倍加列变换：第i行/列乘上一个非零常数后加到第j行/列上，记为rj + kri或cj + kci

称为矩阵的初等变换，有限次变换后可逆，称原矩阵和得到的矩阵等价或相抵

初等矩阵

由E进行一次初等变换后的矩阵称为初等矩阵(k≠0)：

  • 对调矩阵：Ei, j，即第i行/列与第j行/列对调，行或列对调得到的矩阵相同
  • 倍乘矩阵：Ei(k)，即第i行/列元素乘上k，行或列倍乘得到的矩阵相同
  • 倍加矩阵：Ei, j(k)，即第j行/列乘上k后加到第i行/列上，$E_r=E_c^{\rm T}$

初等矩阵的性质

  • $E_{i,j}^{\rm T}=E_{i,j}、E_i^{\rm T}(k)=E_i(k)、E^{\rm T}_{i,j}(k)=E_{j,i}(k)$
  • Ei, jEj, i = Ei(k)Ei(k−1) = Ei, j(k)Ei, j(−k) = E，k ≠ 0

等价标准形

$F=\left[\begin{matrix}E_s&O\\O&O\end{matrix}\right]$称为A的等价标准形，A通过有限次初等变换可以变成F

F有特例：$\left[\begin{matrix}E_s&O\end{matrix}\right]、\left[\begin{matrix}E_s\\O\end{matrix}\right]、\left[\begin{matrix}E_s\end{matrix}\right]$

一个矩阵的等价标准形是唯一的

矩阵的行列式

  • 当一个矩阵是方阵时，才有行列式，记为|A|
  • $|A^{\rm T}|=|A|$
  • |λA| = λn|A|
  • |AB| = |A||B|
  • |AB| = |BA|