向量与解析几何入门

向量与解析几何

概述

向量的线性表示

在右手空间直角坐标系中，向量可表示为a⃗ = a₁i⃗ + a₂j⃗ + a₃k⃗或a⃗ = (a₁,a₂,a₃)

两点形成的向量$\overrightarrow {PQ}=(q_1-p_1,\ q_2-p_2,\ q_3-p_3)$

向量的运算与关系

• 加减法：平行四边形法则，线性表示为a⃗ + b⃗ = (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃)
• 数乘：线性表示为λa⃗ = (λa₁, λa₂, λa₃)，模长|λa⃗| = |λ||a⃗|
• 求模：线性表示为$|\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$
• 点乘(数量积)：a⃗ · b⃗ = |a⃗||b⃗| · cos θ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃，点乘满足交换、数乘结合、分配律
• 平行：线性表示为$\begin{align}&\vec a//\vec b\iff \frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\frac{a_3}{b_3}\end{align}$，即叉乘的模长等于0，由行列式知识可知，平行时两向量各坐标值成比例
• 垂直：线性表示为a⃗ ⊥ b⃗ ⇔ a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = 0，即点乘等于0
• 夹角：由点乘，$\begin{align}\cos \theta=\frac{\vec a·\vec b}{|\vec a||\vec b|}\end{align}$。一个向量的三个方向余弦cos²θ₁ + cos²θ₂ + cos²θ₃ = 1
• 单位向量：$\begin{align}\vec e_{\vec a}=\frac{\vec a}{|\vec a|}\end{align}$，方向余弦$\begin{align}\cos\theta_{x,y,z}=\frac{\vec a_{x,y,z}}{|\vec a_{x,y,z}|}\end{align}$
• 投影：a⃗在b⃗上的投影为$\begin{align}(\vec a)_{\vec b}=|\vec a|\cos\theta\end{align}$，投影向量为$\begin{align}(\vec a)_{\vec b}\frac{\vec b}{|\vec b|}\end{align}$
• 叉乘(向量积)：方向为右手四指从a⃗到b⃗握后大拇指的方向，模长为|a⃗||b⃗|sin θ。叉乘满足分配、数乘结合律，交换后结果方向相反。可以视a⃗ × b⃗为三阶行列式$\left|\begin{matrix}\vec i&\vec j&\vec k\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{matrix}\right|$，整理后的线性表示为按第一行展开的结果，即$\vec a\times\vec b=(\left|\begin{matrix}a_2&a_3\\b_2&b_3\end{matrix}\right|,\ \left|\begin{matrix}a_1&a_3\\b_1&b_3\end{matrix}\right|,\ \left|\begin{matrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{matrix}\right|)$，两个向量的叉乘的模长等于平行四边形的面积
• 混合积：称(a⃗, b⃗, c⃗)为(a⃗×b⃗) · c⃗或a⃗ · (b⃗×c⃗)，叉乘运算必然优先。可表示为三阶行列式$\left|\begin{matrix}a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\end{matrix}\right|$，由行列式性质得它等于偶数次交换行/列，或转置后的结果。混合积的几何意义为它的绝对值等于平行六面体的体积
• 自乘：$\vec a·\vec a=|\vec a|^2,\ \vec a\times\vec a=\vec0$
• 若$\vec a\sdot\vec b=0$，则两向量垂直；若a⃗ × b⃗ = 0，则两向量平行；若(a⃗, b⃗, c⃗) = 0，则三向量共面

平面方程

• 点法式：$\begin{align}\frac{x-x_0}{A}=\frac{y-y_0}{B}=\frac{z-z_0}{C}\end{align}$，法向量为(A,B,C)，平面必过点(x₀,y₀,z₀)
• 一般式：Ax + By + Cz + D = 0，法向量为(A,B,C)
• 截距式：$\begin{align}\frac xA+\frac yB+\frac zC=1\end{align}$

两个相交平面确定一条直线，这条直线的同轴平面束为(A₁x+B₁y+C₁z+D₁) + λ(A₂x+B₂y+C₂z+D₂)

平面与平面的关系

• 两平面相交，则$\begin{align}A_1:B_1:C_1\ne A_2:B_2:C_2\end{align}$
• 两平面重合，则$\begin{align}\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}=\frac{D_1}{D_2}\end{align}$
• 两平面平行，则$\begin{align}\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}\ne\frac{D_1}{D_2}\end{align}$
• 平行平面间的距离：将A, B, C化为相同后，距离为$\begin{align}\frac{|D_2-D_1|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\end{align}$，由于距离公式含绝对值，需要注意有多个解
• 两平面间夹角：求两法向量间夹角的余弦值的绝对值，得到平面间夹角的余弦值

空间直线方程

• 点向式(对称式)：$\begin{align}\frac{x-x_0}A=\frac{y-y_0}B=\frac{z-z_0}C\end{align}$，方向向量为(A,B,C)，直线必过点(x₀,y₀,z₀)
• 参数式：$\begin{cases}x=x_0+At\\y=y_0+Bt\\z=z_0+Ct\end{cases}$，方向向量为(A,B,C)，直线必过点(x₀,y₀,z₀)
• 两点式：$\begin{align}\frac{x-x_0}{x_1-x_0}=\frac{y-y_0}{y_1-y_0}=\frac{z-z_0}{z_1-z_0}\end{align}$，方向向量为$\overrightarrow{P_0P_1}$
• 一般式：$\begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{cases}$，即两个平面的交线，方向向量为(A₁,B₁,C₁) × (A₂,B₂,C₂)

空间直线方程间的转换

由于点向式与参数式容易互相转换，在这里只讲述一般式与参数式、两点式的互换：

• 一般式化为参数式：联立两平面，令x、y、z任意一者为t，即得到参数式方程
• 快捷地，如果只需求一般式直线的方向向量，只需对两平面法向量进行叉乘即可
• 一般式化为两点式：令x、y、z任意两者为0，求出必过的两点即可
• 参数式化为一般式：三个方程两两联立除去t，求出两条关系式即可，点向式同理等式间两两联立整理即可

直线与直线的关系

• 两直线异面：首先判断方向向量是否平行，若平行(叉乘为$\vec 0$)则两直线共面，否则应在直线中分别找出两点，得到向量$\overrightarrow{P_1P_2}$，与叉乘结果进行点乘运算，若不为0，则为异面；完整行为是求混合积，但有时可以不求$\overrightarrow{P_1P_2}$，并更容易判断共面情况
• 两直线共面且相交：在上述混合积为0的情况下，两方向向量不平行
• 两直线平行：两方向向量平行且都不与$\overrightarrow {P_1P_2}$平行
• 两直线重合：三个向量互相平行
• 平行直线间的距离：$\begin{align}d=\frac{|\vec {s_1}\times\overrightarrow {P_1P_2}|}{|\vec {s_1}|}\end{align}$，其中$\vec{s_1}$为某直线的方向向量，即利用了叉乘的正弦值
• 异面直线间的距离：$\begin{align}d=\frac{|(\vec{s_1},\vec{s_2},\overrightarrow{P_1P_2})|}{|\vec{s_1}\times\vec{s_2}|}\end{align}$，即利用混合积求出垂直于两条直线的公垂线

直线与平面的关系

• 直线平行于平面：若直线非一般式，则方向向量与法向量垂直，且直线上点不在平面上，可利用P₀判断；若为一般式，可直接观察其中一条平面方程是否与该平面平行
• 直线在平面上：若直线非一般式，则方向向量与法向量垂直，且P₀应在平面上；若为一般式，可直接观察其中一条平面方程是否可与该平面化为一致
• 直线与平面相交于一点：若直线非一般式，则方向向量与法向量点乘不为0；若为一般式，可直接观察两条平面方程是否都不与该平面平行
• 直线与平面的夹角：利用方向向量与法向量的点乘求出直线与平面夹角的正弦值
• 平行直线离平面的距离：任意找出直线上一点，$\begin{align}d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\end{align}$，由于距离公式含绝对值，需要注意有多个解

二次曲面

一个二元函数就是一个面，若自变量与因变量均为1次，则这个面是一个平面；若含有任意一个变量为二次，则称其为二次曲面

类似空间直线，空间曲线由两个空间曲面相交而成，截痕法通过曲面在三个坐标平面上的空间曲线来研究曲面的形状，例如令z = 0，可得到平面Oxy上的截痕

常用二次曲面

• 球面：(x−x₀)² + (y−y₀)² + (z−z₀)² = r²，其中球心为(x₀,y₀,z₀)，球半径为r
• 椭球面：若球面中各系数存在不同，则为椭球面，化简为$\begin{align}\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}+\frac{(z-z_0)^2}{c^2}=1\end{align}$
  • 在三个坐标平面上的空间曲线均为椭圆(或圆)
• 柱面：柱面由母线绕定曲线(即准线)平行于定直线l移动而成，一个只有两个变量的曲面一定是柱面，且平行于缺失变量所在坐标轴，以下方程中，(x₀,y₀)表示准线的中心
  • 椭圆柱面：准线为椭圆，$\begin{align}\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1\end{align}$表示该柱面以一个椭圆为准线、且l//z轴；特别地，当a² = b²时，表示一个圆柱面
  • 双曲柱面：准线为双曲线，$\begin{align}\frac{(x-x_0)^2}{a^2}-\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1\end{align}$，l//z轴
  • 抛物柱面：准线为抛物线，$\begin{align}(x-x_0)^2-2py=0\end{align}$，l//z轴
• 二次锥面：$\begin{align}\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}-\frac{(z-z_0)^2}{c^2}=0\end{align}$表示在x = x₀与y = y₀上的截痕均为一对直线，而在z = z₀平面上截痕为一点，该点为(x₀,y₀,z₀)(两 ≥ 0的数相加 = 0只有一个解)
• 单叶双曲面：$\begin{align}\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}-\frac{(z-z_0)^2}{c^2}=1\end{align}$表示在x = x₀与y = y₀上的截痕均为双曲线，而在z = z₀上截痕为椭圆，其中心为(x₀,y₀,z₀)
• 双叶双曲面：$\begin{align}\frac{(x-x_0)^2}{a^2}-\frac{(y-y_0)^2}{b^2}-\frac{(z-z_0)^2}{c^2}=1\end{align}$表示在y = y₀和z = z₀上的截痕为双曲线，$\begin{align}\frac{(x_1-x_0)^2}{a^2}-1=1\end{align}$时，在x = x₁上的截痕为椭圆；若x₁ > x₀，因在x₀ < x < x₁间没有定义，故称双叶
• 椭圆抛物面：$\begin{align}\pm(z-z_0)=\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}\end{align}$表示在x = x₀与y = y₀上截痕为抛物线，而在z = z₀上截痕为椭圆
• 双曲抛物面(马鞍面)：$\begin{align}z-z_0=\frac{(x-x_0)^2}{a^2}-\frac{(y-y_0)^2}{b^2}\end{align}$表示在x = x₀与y = y₀上截痕为抛物线，而在z = z₁ ≠ z₀上截痕为双曲线，在z = z₀上为一对直线

类似的，许多常见曲面应用截痕法记忆

由截痕法所求的在某个平面上的截痕方程，就是曲面在这个平面上的交线

而求曲线在坐标平面上的投影曲线，就是消去该方向上的坐标变量而合并成一条曲面方程后，和该平面方程组合而成的曲线方程

一般形化简为标准形

假设一个曲面方程的一般形为a₁₁x² + a₂₂y² + a₃₃z² + 2a₁₂xy + 2a₁₃xz + 2a₂₃yz + b₁x + b₂y + b₃z + c = 0，要将它化为λ₁(x′−x₀)² + λ₂(y′−y₀)² + λ₃(z′−z₀)² + c = 0的形式，需要消除xy, xz, yz项，则需：

• 将它的系数化为对称矩阵：$A=\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{matrix}\right]$，通过λE − A = 0，求出它的特征值λ_1, 2, 3
• 若b₁ = b₂ = b₃ = 0，则不需要作平移变换，且x₀ = y₀ = z₀ = 0
• 否则，需要平移变换，即找出正交阵X，使$X^TAX=\rm diag(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$
• 则$\left(\begin{matrix}b_1&b_2&b_3\end{matrix}\right)X=\left(\begin{matrix}d_1&d_2&d_3\end{matrix}\right)$

求解未知曲面方程

在实际求解方程时，先设所求曲面上一点M(x,y,z)，然后根据条件求其一般形F(x,y,z) = 0，根据需要进行正交变换转换为标准方程，再判断其形状

能利用的条件有许多：

• M距球面(球心为O)距离：$d=\Big||\overrightarrow{MO}|-R\Big|$
• 给出双参数方程，则联立消去参数，可转化为一般形
• 给出旋转轴和动曲线，先找到这条动曲线上任意点的表示形式，如M₀(x₀,y₀,z₀)，然后通过与旋转轴的关系(即在某一方向上，动曲线的值k₀与待求曲面的值k相同、以及M₀与轴的距离不变)，求出M₀与M的关系，再由M₀内部的关系得出M内部的关系
  • 具体来说，假设要求动直线L绕z轴旋转后的曲面方程，其中L方向向量为s⃗；(1)则M₀的三个坐标值与s⃗相关；(2)由于绕z轴，则在z轴方向上，z = z₀；(3)在同一个z₀上，有r² = x² + y² = x₀² + y₀²；由(1), (2), (3)得到的式子联立，可求出未知曲面方程

练习

$\begin{align}&1.求过点M_1(-1,0,4),且与平面\pi_1:3x-4y+z-10=0平行,又与直线L_1:\frac{x+1}3=\frac{y-3}1=\frac z2\\&相交的直线L的方程.\\&解:\\&设L方向向量为(A,B,C),由\pi_1法向量为(3,-4,1),得3A-4B+C=0\\&又L_1的方向向量为(3,1,2),其中一点为M_2(-1,3,0),由它们相交得(\vec {s_{L}},\vec{s_{L_1}},\overrightarrow{M_1M_2})=0\\&即10A-12B-9C=0,令C=4,得A=48,B=37,即L:\frac{x+1}{48}=\frac{y}{37}=\frac{x-4}4\end{align}$

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$\begin{align}&2.设两直线L_1:\begin{cases}x-3y+z=0\\2x-4y+z+1=0\end{cases};L_2:x=\frac{y+1}3=\frac{z-2}4\\&(1).证明异面.(2).求距离.(3).求过L_1且平行于L_2的平面方程\\&解:\\&(1).令z=t,化L_1为\begin{cases}x=\frac32+\frac t2\\y=\frac12+\frac t2\\z=t\end{cases},\vec {s_1}=(1,1,2),过点M_1(\frac32,\frac12,0)\\&则(\vec {s_1},\vec{s_2},\overrightarrow{M_1M_2})=2\ne 0,故异面.\\&(2).d=\Bigg|\frac{(\vec {s_1},\vec{s_2},\overrightarrow{M_1M_2})}{|\vec{s_1}\times\vec{s_2}|}\Bigg|=\frac1{\sqrt3}\\&(3).由两方向向量叉乘,且平面过M_1,得方程为x+y-z+2=0\end{align}$

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$\begin{align}&3.已知点A,B的坐标分别为(1,0,0),(0,1,1).线段AB绕z轴旋转一周所成的曲面为S.\\&求S及平面z=0,z=1围成的立体体积.\\&解:\\&线段AB所在直线的方向向量为(1,-1,-1),设其上任意一点为(x_0,y_0,z_0)\\&则L_{AB}:x_0-1=-y_0=-z_0&(1).\\&设所求曲面任意一点为(x,y,z),绕z轴旋转,故z=z_0&(2).\\&由r^2=x^2+y^2=x_0^2+y_0^2与上式联立得,x^2+y^2=(1-z)^2+z^2\\&即x^2+y^2-2z^2+2z-1=0.\\&故在平行于Oxy平面上的截面面积为S=\pi(2z^2-2z+1),\\&V=\int_0^1Sdz=\frac23\pi\end{align}$