大学物理: 经典力学

经典力学

质点运动的数学解释

• 位置矢量：质点在指定参考系下的坐标向量，用r⃗表示，简称位矢
• 运动方程：位置矢量关于时间的方程，用r⃗ = r⃗(t)表示，也称运动函数
• 速度矢量：位矢对时间的一阶导数，用v̄(t)表示，其方向与位移方向一致
• 加速度矢量：速度对时间的一阶导数，用ā(t)表示，其方向总是指向轨道曲线的内侧
• 若已知质点的加速度和初始状态，求运动方程相当于解微分方程的初值问题
• 加速度可分解为a = a_tτ + a_nn，其中：
  • a_t为切向加速度，a_n为法向加速度(向心加速度)，τ为速度的单位切向量，n为速度的单位法向量
  • $\begin{align}a_t=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}、a_n=\frac{v^2}{R}\end{align}$，其中v为速度的大小

牛顿定律

• 牛顿定律只对惯性系生效
• 牛顿第一定律(惯性定律)：任何不受力物体的物体保持静止或匀速直线运动状态
  • 力是物体运动状态改变的原因
  • 物体具有惯性，即保持其静止或匀速直线运动状态不变的属性
• 牛顿第二定律：
  • 动量p = mv
  • 力$\begin{align}\boldsymbol{F}=\frac{\mathrm d\boldsymbol{p}}{\mathrm dt}\end{align}$，当质量为关于t的常数时，F = ma
  • 力恒定时，质量越大、加速度越小、物体惯性越大
• 牛顿第三定律：相互作用力总是大小相等、方向相反、作用在一条直线上

参考系

• 参考系：可以是任意物体，以该物体作为参考系原点，即称其他物体是相对于该参考系的
• 惯性系：在惯性系中，只要物体不受力，它就满足牛一；即惯性系本身不具有加速度
• 绝对时空观：
  • 在不同参考系下(分别记为S、S′，原点为O、O′，质点为P)，满足O′P = r′(t)、t = t′
  • 伽利略变换：设$\begin{align}\boldsymbol{u}=\frac{\mathrm d\boldsymbol{OO'}(t)}{\mathrm dt}\end{align}$，则不同参考系下同一质点：
    • 位矢关系：r(t) = r′(t) + OO′(t)，即OP = OO′ + O′P
    • 速度关系：v = v′ + u
    • 加速度关系：$\begin{align}\boldsymbol{a}=\boldsymbol{a}'+\frac{\mathrm d\boldsymbol{u}}{\mathrm dt}\end{align}$
  • 伽利略坐标变换：若两惯性系在相对做匀速直线运动，则u = C，有：$\begin{cases}x=x'+ut\\y=y'\\z=z'\\t=t'\end{cases}$
• 惯性力存在于非惯性系中，且F_i =  − ma，其中a为非惯性系的加速度

关于动量

• 动量是牛顿第二定律的另一种形式
• 动量定理：力是动量对时间的导数，冲量是力对时间的积分
  • 冲量$\begin{align}\boldsymbol{I}=\int_{t_1}^{t_2}\boldsymbol{F}(t)\mathrm dt=\int_{t_1}^{t_2}\mathrm d\boldsymbol{p}=\boldsymbol{p}_2-\boldsymbol{p}_1\end{align}$
• 动量守恒定律：若某质点系所受合外力为零，则$\sum_\limits i\boldsymbol{p}_i=\boldsymbol{C}$，例如质点系静止或做匀速直线运动
• 质心运动定理：
  • 质心坐标$\begin{align}\boldsymbol{r}_c=\frac{\int_\Omega\rho\ \boldsymbol{r}\mathrm d\Omega}{m}\end{align}$，其中c为质心这个点，r为质点系中任意一点的位矢
  • 若该质点系满足动量守恒定律，则$\sum_\limits i\boldsymbol{F}_i=m\boldsymbol{a}_c$

关于角动量

• 设质点P相对于O的位矢为r，且所受外力为F，则定义F对O的力矩为M = r × F
• 力矩由力的大小、方向、作用点以及某固定点生成
• 角动量(动量矩)：与力矩的定义方式类似，L = r × p，它包含动量对某固定点的角度信息
• 角动量定理：力矩是角动量对时间的导数
• 角动量守恒定律：若某质点系所受合外力矩为零，则$\sum_\limits i\boldsymbol{L}_i=\boldsymbol{C}$，例如质点系做直线运动或做匀速圆周运动

关于功和功率

• 力做功$\begin{align}A=\int_L\boldsymbol{F}\mathrm d\boldsymbol{r}=\int_L\boldsymbol{F·v}\ \mathrm dt\end{align}$，恒力做功A = F · Δr
• 根据格林公式及斯托克斯公式，将做功与路径无关，即F的雅可比行列式为0的力称为保守力
• 功率$\begin{align}P=\frac{\mathrm dA}{\mathrm dt}=\boldsymbol{F·v}\end{align}$
• 动能定理：$\begin{align}E_k=\frac12mv^2\end{align}$，A = ΔE_k
• 保守内力做功A =  − ΔE_p
• 机械能守恒定律：如果系统只有保守内力做功，则E_M = E_k + E_p = C

碰撞问题

• 完全非弹性碰撞：动量守恒，但有非保守内力做功，只满足m_合v_合 = m₁v₁ + m₂v₂
• 完全弹性碰撞：动量守恒且机械能守恒
  • 矢量式：m₁v₁₀ + m₂v₂₀ = m₁v₁ + m₂v₂
  • $\begin{align}\frac{m_1v_{10}^2}2+\frac{m_2v_{20}^2}2=\frac{m_1v_{1}^2}2+\frac{m_2v_{2}^2}2\end{align}$
  • 若m₂初速度为0，则$\begin{align}\boldsymbol{v}_1\boldsymbol{·v}_2=\frac{m_1-m_2}{2m_1}v_2^2\end{align}$，即$\begin{align}\cos<\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2>=\frac{m_1-m_2}{2m_1}\frac{v_2}{v_1}\end{align}$
  • 若为对心碰撞，则可总结出更一般的速度式，因为此时cos  < v₁, v₂ >  =  − 1，动量守恒式变成标量式：$\begin{align}\begin{cases}v_1=\frac{\large(m_1-m_2)v_{10}+2m_2 v_{20}}{\large m_1+m_2}\\v_2=\frac{\large2m_1v_{10}+(m_2-m_1)v_{20}}{\large m_1+m_2}\end{cases}\end{align}$(借助平方差公式推导)

刚体力学

• 角速度大小：$\begin{align}\omega=\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dt}=\frac1r\frac{\mathrm dl}{\mathrm dt}=\frac vr\end{align}$

• 角速度方向：v = ω × r

• 角加速度和加速度的关系：

  • $\begin{align}a_t=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=r\frac{\mathrm d\omega}{\mathrm dt}=r\alpha\end{align}$
  • $\begin{align}a_n=\frac{v^2}{r}=r\omega^2\end{align}$
  • $\begin{align}\boldsymbol{a}=\frac{\mathrm d(\boldsymbol{\omega\times r})}{\mathrm dt}=\boldsymbol{\alpha\times r}+\boldsymbol{\omega\times v}\end{align}$

• 刚体绕定轴转动时，轴向动量和位矢垂直，故轴向角动量的大小L_i = |r × p_i| = mr_iv_i = mr_i²ω_i

  定义刚体绕某轴旋转的转动惯量为$\begin{align}J=mr_i^2=\int_\Omega \rho\ r_i^2\mathrm d\Omega\end{align}$，则轴向角动量的大小为L_i = Jω，轴向力矩大小为M_i = Jα

• 刚体定轴转动定律：刚体绕定轴的角加速度和轴向力矩成正比，类比加速度和力的关系F = ma

• 转动问题中，$\begin{align}A=\int_{\theta_1}^{\theta_2}M_i\mathrm d\theta\end{align}$，即外力做的功等于轴向力矩和角位移的积

• 转动动能：$\begin{align}E_k=\frac12J\omega^2\end{align}$